«Методические особенности изучения истории математики как важная часть математического образования ».

Введение

Данная тема с давних времен волновала многих ученых из различных областей знаний: математики, методики математики, педагогики, истории, т.к. является пограничной и  находиться на стыке этих наук. Эту тему рассматривали математики, педагоги, историки: К. Д. Ушинский, Н.Г.Чернышевский, Л.Н.Толстой, Ж.А. Пуанкаре, А.К.Маркова, С.Н.Лысенкова, Л.С. Выготский, Г.В.Лейбниц ....

- Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет.             

                                                                                                                                    Готфрид Вильгельм Лейбниц 

(немецкий философ, математик)

Современная школьная программа и ФГОС указывают на необходимость знакомства учеников с фактами из истории математики и биографиями великих математиков. 

     Современное развитие математики требует того, чтобы ее преподавание не только обеспечивало прочное овладение учащимися основами математики, но и развивало у них умение применять накопленные знания к решению практических задач. Одним из приемов  решения этой проблемы может служить использование на уроках м6атематики исторических сведений, которые показывают становление и развитие математики.

     Как лучше это сделать и когда – вот главный вопрос любого учителя, так как нужно учитывать многие моменты: успеть пройти всю программу, выполнить все контрольные и самостоятельные работы, проверить как можно больше тетрадей с домашними работами, тестами и самостоятельными, участвовать в олимпиадах и различных конкурсах, и еще не забывать о возрастных особенностях каждого  класса и ребенка.

В разное время ученые и методисты по-разному определяли цели введения элементов истории математики в преподавание в зависимости от общественного строя той или иной страны и общих задач  школы. Однако общим   всегда были и остаются   следующие цели:

1) Сведения из истории повышают интерес школьников к изучению математики и углубляют понимание ими изучаемого раздела программы;

2) Ознакомление с историческими фактами расширяет умственный кругозор учеников и повышает их общую культуру, позволяет лучше понять роль математики в современном обществе;

3) Знакомство с историческим развитием математики способствует общим целям   воспитания подрастающего поколения.

Знакомство учеников с фрагментами истории математики, в связи с изучением основ предмета на уроках, актуально и в настоящее время. Перед учителем возникает проблема. На каком этапе урока лучше использовать введения элементов истории математики в преподавание, в какой форме лучше преподнести, какие условия следует учитывать… Поэтому была определена данная тема для изучения и намечены цели и задачи.

Цель: рассмотреть методические особенности изучения истории математики как важной части математического образования.

Задачи:

1) Изучить педагогические условия использования исторического материала на уроках математики.

2) Рассмотреть научно- практические рекомендации по использованию исторического материала.

3) Определить этапы и виды работы при использовании исторического материала на уроках математики. 

4) Показать способы использования исторического материала, отражающего становление и развитие математики на примере фрагментов урока.

Основная часть

Педагогические условия использования исторического материала на уроках математики 

1)Определяется содержанием материала. Исторический материал органически связан с изучаемой темой.                         

2)Учитываются возрастные особенности школьника.           

3)Объем исторических сведений должен быть соразмерным.    

4) Использование исторического материала не противоречит  принципам                        доступности и научности.

Принцип научности. Состоит в том, что содержание обучения должно быть научным и иметь мировоззренческую направленность.  

Принцип доступности заключается в необходимости соответствия содержания, методов и форм обучения возрастным особенностям обучающихся, уровню их развития.

Научно- практические рекомендации по использованию исторического материала

· Прежде чем знакомить учеников с историей математики, продумайте планомерное использование на уроках фактов из истории математики в тесном сплетении с систематическим изложением программного материала;

· Проводите ознакомление учеников с историческим материалом не только на уроках математики, но и во внеурочное время с помощью продуманной системы внеурочных мероприятий;

· Используйте на уроках различные формы сообщения сведений по истории: краткую беседу, экскурсию, лаконическую справку, решение задач, показ и разъяснение рисунка и т.д.

· Не требуйте от детей запоминания исторических сведений. Добивайтесь того, что математика связана с жизнью;

· Используйте исторический материал на уроках с учетом возрастных особенностей; переводите новую информацию на доступный для учащихся язык.

Как показывает педагогическая практика и  анализ методической литературы по педагогике, что  основными методическими приемами при сообщении исторического материала являются следующие: рассказ учителя, эвристическая беседа, проблемное изложение, лекция, исследовательская работа учащихся, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и разъяснение рисунка. 

Этапы и виды работы при использовании исторического материала на уроках математики 

 В 5-6-х классах, когда ученики еще не знакомы со многими элементами алгебры и геометрии, знакомство с историей можно разбить на несколько этапов или видов работы.

1. Поиск интересных фактов из жизни великих математиков. (достижения математиков могут быть ими еще не поняты, но знакомство с именами ученых будет полезно  и интересно  ).

2. Поиск информации о первом использовании привычных для нас современных символов, знаков, обозначений  в математике.

3. Изучение биографий великих ученых в виде сообщений учеников, выполнение стенгазет, презентаций, буклетов и т.п.

4. Изготовление различных объемных фигур с изучением их названий, истории открытия, существование их природных аналогов.

5. Поиск и решение интересных исторических задач.

В 7-9 классах, где уже начали изучать алгебру и геометрию, объем знаний и информации намного шире, и материалов по математике больше. Использовать можно и весь потенциал 5-6 классов, но слегка расширив его по возрасту.

1. Проведение сравнительного анализа старинных учебников и современных ( название старинных учебников, авторов, в зависимости от места и времени проживания и т.д.) 

2. Пифагор и его теорема (Изучение биографии Пифагора: можно группами и по периодам жизни, достижения Пифагора, легенды и притчи, формулировки  теоремы, исторические сведения о раннем применении этой теоремы и т.д.)

3. Евклид, «Начала»  ( звучание постулатов Евклида из «Начал» и аксиом планиметрии, их сравнение)

4. Решение задач старинной формулировки, его современная интерпретация и актуальность умения решать такие задачи.

И только ученикам 10-11 классов можно будет углубиться в достижения великих ученых. Все предыдущие виды работы для них приемлемы, но добавить можно немного, с одной стороны – старшеклассники больше заняты подготовкой к ЕГЭ, с другой стороны – как мотивация их к учебе  исторический материал уже не сработает.

1. Поиск информации о биографии математиков, их достижениях.

2. Поиск информации об  областях математики, где применяются различные открытия и достижения.

Чтобы еще больше усилить интерес к математике и её истории нужен игровой момент, который подведет итог проделанной работе за год и покажет, на сколько мы преуспели в своей миссии. Игру можно провести в конце года или на предметной неделе, обязательно использовать материал, который был найден учениками.

Представляю вашему вниманию фрагменты уроков с 5-11 класс с использованием исторического материала, отражающего становление и развитие математики с обозначением целесообразности применения.

История  происхождения  дробей, 5-6 кл

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф    (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Остальные дроби они записывали в виде суммы долей. Дробь   они записывали в виде  ,но знак «+» не указывали. А сумму   записывали в виде  . Следовательно, такая запись смешанных чисел (без знака «+») сохранилась с тех пор.

В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры.

Одна из задач этого папируса — разделить 7 хлебов между 8 людьми — решается в характерном для всей египетской математики стиле: 

каждому проголодавшемуся нужно дать сумму

1/2+1/4+1/8 долей одного хлеба, выраженных аликвотными дробями

Дроби на Руси, 5-6 класс

В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси:

1/2 - половина, полтина 1/3 – треть

1/4 – четь 1/6 – полтреть

1/8 – полчеть 1/12 –полполтреть

1/16 – полполчеть 1/24 – полполполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть (малая четь) 1/5 – пятина

1/7 – седьмина 1/10 – десятина

Данный материал можно использовать на уроке изучения нового материала, так и на уроке закрепления, представив в виде задачи, числового выражения, неравенства или уравнения, используя старинные названия дробей. Кроме этого, можно предложить учащимся самостоятельно или в группе составить задачи.

Умножение способом решётки , 5- 6 кл

В Индии с давних времён предпочитали устный счёт письменному. Были  изобретены несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, — умножение столбиком. 

Умножение способом решётки , 5- 6 кл

В Индии  были  изобретены несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам.  Однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, — умножение столбиком.          

 Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения — в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского — «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: вычислим произведение 296 × 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, — по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально — число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получим сложением цифр в косых полосах. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 + 1 + 7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.

Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.

Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его «механизм»? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 + 90 + 6 и 70 + 3.

Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй — десятки, в третьей — сотни и т.д. При сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т.д. Дальнейшее очевидно:

Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:

296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Отрицательные и положительные числа,6 класс

Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».

Толкование это носило искусственный характер, купец никогда не находил сумму долга вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить лишь правила сложения и вычитания «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения или деления.

В V-VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними. В его произведении мы читаем: « имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».

Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.

Данные исторические сведения будет целесообразно рассмотреть на этапе изучения нового материала, перед введение правил сложения и вычитания рациональных чисел.

Рубрика «Интересное об известном»

 Кто такой Литр? (5-6 класс)

 Каждый из нас знает, что литр - это мера объёма, равная объёму килограмма воды при температуре 4С. 

 Однако мало кому известно, что термин "литр" введён в честь француза Клода - Эмиля - Жана Батиста Литра. Он жил в 18 в. и занимался производством винных бутылок. 

 Считается, что Литр первый из тех, кто стал производить лабораторную посуду, в частности, он придумал градуированные стеклянные цилиндры. Известно, что его родители также занимались производством винных бутылок.

 В 1763 г. на 47-м году жизни Литр предложил измерять объёмы жидкости с помощью единицы, которую впоследствии назвали литром.

Метод ложных положений при решении уравнений, 7 класс

  К алгебраическим относятся задачи на «аха» («аха» – куча): x+ax+bx+…+cx=p. Решение уравнения x=p/(1+a+b+…+c). Из-за сложности суммирования и деления дробей, египтяне использовали правило ложного положения. 

Для решения уравнения x + x / 4 =15 брали «с потолка» заведомо неправильное, ложное значение x = 4 . При подстановке в левой части получается 5, а надо 15. Значит, надо изменить пропорционально x: его надо умножить на 15/5. 

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне, 8 -9 классы

Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,

В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

“Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96”.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

                                         ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ, 10-11 класс

 Шаром принято называть тело,  ограниченное сферой, т.е. шар и сфера –   это разные геометрические тела.

 Однако оба слова «шар» и «сфера» происходят от одного и того же греческого слова «сфайра» - мяч. При этом слово «шар» образовалось от перехода согласных сф в ш.

  В ХI книге «Начала» Евклид определяет шар как фигуру, описанную вращающимся около неподвижного диаметра полукругом. 

 В древности сфера была в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы.

Сфера всегда широко применялась в различных областях науки и техники.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

         В данной работе рассмотрены методические особенности изучения истории математики, определена значимость данной проблемы в условиях  математического образования.

Из изложенного можно сделать вывод, что уроки математики, на которых используется исторический материал, отличаются от обычных уроков тем, что  участие в них обязательно для всех учащихся. Замысел, содержание, методика проведения  разработаны так, что для некоторых детей , не испытывающих интереса к математике, такие уроки могут послужить отправной точкой в возникновении этого интереса.

 Основным для уроков математики является обучение математике. Уроки же, на которых рассматриваются исторические сведения математики, лишь активизируют  деятельность учащихся, делают восприятие более активным, эмоциональным , творческим.

    Использование различных методических приемов при сообщении исторического материала (рассказ учителя, эвристическая беседа, проблемное изложение, лекция, исследовательская работа учащихся, экскурс, лаконичная справка, решение задачи, показ и разъяснение рисунка) повышает интерес к математике вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомляемость, развивает внимание, сообразительность, память, логическое мышление, расширяет умственный кругозор учащихся и повышает их общую культуру.  

Еще более интересным и занимательным будет такой урок с использованием ЭОР (электронно-образовательные ресурсы) и ЦОР (цифровые образовательные ресурсы).  Кроме это, урок можно разнообразить использованием рабочих листов с включением исторического материала, карточек, викторин; разработанными интерактивными  заданиями на онлайн сервисах (LearningApps, 

Wordwall и др); используя сайты с информационно- образовательной средой, где можно разрабатывать задания, уроки, например, «Российская электронная школа» и образовательные онлайн платформы «Учи.ру», « Якласс»

Знакомство учащихся с фрагментами истории математики в связи с изучением основ предмета на уроках одной задачи является эффективным средством  активизации учебной деятельности школьников, положительно влияющим на повышение качества знаний, умений, навыков учащихся, развитие умственной деятельности.